Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 4

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 5.1

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V + e^{V} - V$ .

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Etapa 5.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Etapa 5.1.1.1.2.2

Some $0$ e $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{V}$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Etapa 5.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

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Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{V}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{V})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 V$ como $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $e^{- V}$ por $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

Deixe $u = - V$ . Depois, $d u = - d V$ , então, $- d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Deixe $u = - V$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Diferencie $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- V$ em relação a $V$ é $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Etapa 5.2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.5

Simplifique.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Etapa 5.3

Resolva $V$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2.2

Divida $e^{- V}$ por $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Etapa 5.3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 5.3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.1

Expanda $\ln (e^{- V})$ movendo $- V$ para fora do logaritmo.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 5.3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ por $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Etapa 5.3.4.2.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 5.3.4.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ como $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 5.4

Simplifique a constante de integração.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ para $y$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Reordene os fatores em $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$