Cálculo Exemplos

$\frac{z + 5}{4 z + 19} d z = d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $z + 5$ por $4 z + 19$ .

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Etapa 2.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 z$

$19$

$z$

$5$

Etapa 2.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $z$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 z$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			+	$z$	+	$\frac{19}{4}$

Etapa 2.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $z + \frac{19}{4}$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$

Etapa 2.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$
					+	$\frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} d z + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $z$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 z + 19} d z$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = 4 z + 19$ . Depois, $d u = 4 d z$ , então, $\frac{1}{4} d u = d z$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = 4 z + 19$ . Encontre $\frac{d u}{d z}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $4 z + 19$ .

$\frac{d}{d z} [4 z + 19]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 z + 19$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$

Etapa 2.3.5.1.3

Avalie $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

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Etapa 2.3.5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $4 z$ em relação a $z$ é $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [19]$

Etapa 2.3.5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [19]$

Etapa 2.3.5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d z} [19]$

Etapa 2.3.5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.5.1.4.1

Como $19$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $19$ em relação a $z$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.3.5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Etapa 2.3.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 z + 19$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C$