Cálculo Exemplos

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ por $x e^{- t}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ por $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d x}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Negative o expoente de $e^{- t}$ e o mova para fora do denominador.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $- t \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Reordene os fatores em $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Etapa 3.4.4

Fatore $2$ de $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Etapa 3.4.5

Fatore $2$ de $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$