Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2.2

Combine $6$ e $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ de $x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = 6 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = y - 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{2}{3}} d u = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ por $3$ .

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2.2

Divida ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = x^{2} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y - 1)}^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y - 1 = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Use o teorema binomial.

$y - 1 = {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3 {(x^{2})}^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + 3 ({(x^{2})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y - 1 = x^{6} + {(x^{2})}^{2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{2 \cdot 2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Aplique a regra do produto a $\frac{K}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.5.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5.2

Fatore $3$ de $3^{2}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + x^{2} \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.6

Combine $x^{2}$ e $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.7

Aplique a regra do produto a $\frac{K}{3}$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Etapa 3.3.2.1.2.8

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Etapa 3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27} + 1$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K}{3} + K$