Cálculo Exemplos

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

Etapa 1.2

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

Etapa 1.3

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Etapa 1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Etapa 1.4.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Etapa 1.4.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Etapa 1.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.6

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.7

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.8

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $2 y + 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x + y$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1.1

Deixe $u = x + y$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Diferencie $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 5.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 5.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 5.1.1.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x + y$ .

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Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.6

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.8

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.9

Combine $\frac{3}{3}$ e ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.10

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.3.10.2

Divida ${(x + y)}^{2}$ por $1$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Subtraia ${(x + y)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.4

Como $2 x$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x$ para fora da integral.

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.8

Aplique a regra da constante.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.9

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

Etapa 10.10

Deixe $u = x + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.10.1

Deixe $u = x + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 10.10.1.1

Diferencie $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 10.10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 10.10.1.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 10.10.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 10.10.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 10.10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

Etapa 10.11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 10.12

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

Etapa 10.13

Simplifique.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

Etapa 10.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

Etapa 10.15

Simplifique.

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Etapa 10.15.1

Reordene os termos.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

Etapa 10.15.2

Remova os parênteses.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Etapa 12

Combine os termos opostos em $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

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Etapa 12.1

Subtraia $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ de $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

Etapa 12.2

Some $x y^{2} + x^{2} y - y$ e $0$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$