Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C_{1}}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Etapa 3.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Reordene $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Etapa 7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Etapa 7.4.3

Reordene $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Etapa 7.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Etapa 7.6

Ao resolver $\int e^{x} \cos (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Etapa 7.7

Reescreva $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ como $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $e^{x}$ de $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1.1

Fatore $e^{x}$ de $\cos (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.1.1.2

Fatore $e^{x}$ de $\sin (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.1.1.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.2

Fatore $\frac{e^{x}}{2}$ de $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ .

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 8.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 8.3.1.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Etapa 10

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Etapa 11

Integre os dois lados.

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Etapa 11.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3

Integre o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.5

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.6

Como $C_{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 11.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.3.7.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 11.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.7.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.3.7.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 11.3.7.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 11.3.7.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Etapa 11.3.7.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Etapa 11.3.8

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.3.8.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.3.8.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 11.3.8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 11.3.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 11.3.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Etapa 11.3.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Etapa 11.3.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Etapa 11.3.11

Simplifique.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Etapa 11.3.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Etapa 11.3.13

Reordene os termos.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Etapa 11.3.14

Reordene os termos.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Etapa 11.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$