Cálculo Exemplos

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reordene os fatores em $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ por $\cos (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.1.3.3.1.6

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Etapa 1.1.3.3.1.7

Divida $- 3$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Etapa 1.2

Fatore $\sec (x)$ de $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Etapa 1.2.2

Fatore $\sec (x)$ de $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Etapa 1.2.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $- y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $- y - 3$ de $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = - y - 3$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - y - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Etapa 3.2

Some $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ aos dois lados da equação.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $\ln (| - y - 3 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Etapa 3.3.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ como $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Etapa 3.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Etapa 3.6

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Etapa 3.7

Expanda $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Etapa 3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Etapa 3.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Etapa 3.9

Reescreva $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Etapa 3.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Reescreva a equação como $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Etapa 3.10.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Etapa 3.10.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Some $3 \sec (x)$ aos dois lados da equação.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Etapa 3.10.3.2

Some $3 \tan (x)$ aos dois lados da equação.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Etapa 3.10.4

Fatore $y$ de $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.4.1

Fatore $y$ de $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Etapa 3.10.4.2

Fatore $y$ de $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Etapa 3.10.4.3

Fatore $y$ de $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Etapa 3.10.5

Reescreva $- 1 \sec (x)$ como $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Etapa 3.10.6

Reescreva $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Etapa 3.10.7

Divida cada termo em $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ por $- \sec (x) - \tan (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.1

Divida cada termo em $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ por $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.2.1

Cancele o fator comum de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.3.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.1.2

Fatore $- 1$ de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.1.3

Fatore $- 1$ de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.2

Simplifique $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.3.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.3.2

Fatore $- 1$ de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.3.1.5.1

Fatore $- 1$ de $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.1.5.2

Fatore $- 1$ de $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Etapa 3.10.7.3.1.5.3

Fatore $- 1$ de $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Etapa 3.10.7.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.2

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.7.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Etapa 3.10.7.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$