Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Etapa 4.5

Simplifique.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.6.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.2.1

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.14

Mova $v^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.15

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Etapa 4.16

Combine $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Etapa 4.17

Reescreva $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Etapa 4.18

Multiplique $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Etapa 4.19

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 4.23

Some $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.5

Multiplique $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1.5.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.5.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.5.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.6

Simplifique $- 1 \cdot 2 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Etapa 6.1.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.3.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.1.3.3.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.3.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.4

Multiplique $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.3.4.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Etapa 6.1.3.4.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Etapa 6.1.3.4.5

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

Etapa 6.1.3.5

Simplifique $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2$ .

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Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 d x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 2 x + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 x}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 2 x}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Etapa 6.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

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Etapa 6.7.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.7.3

Simplifique.

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Etapa 6.7.3.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.7.3.3

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.7.5

Simplifique.

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Etapa 6.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.7.5.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6.7.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.7.7

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.7.7.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.7.7.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.7.7.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.7.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.7.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Etapa 6.7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Etapa 6.7.8.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 6.7.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Etapa 6.7.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Etapa 6.7.11

Simplifique.

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Etapa 6.7.11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 6.7.13

Simplifique.

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Etapa 6.7.13.1

Reescreva $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 6.7.13.2

Simplifique.

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Etapa 6.7.13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 6.7.13.2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 6.7.13.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Etapa 6.7.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ para o numerador.

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.2.3

Cancele o fator comum.

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.2.4

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.4

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 6.7.15.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ para o numerador.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.15.5.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.15.5.3

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 6.7.15.5.4

Cancele o fator comum.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 6.7.15.5.5

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.6.2

Multiplique $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.6.2.2

Multiplique $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.7

Combine $e^{- 2 x} x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.7.1

Reordene $e^{- 2 x}$ e $x$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.7.2

Para escrever $x e^{- 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.7.3

Combine $x e^{- 2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.8.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.15.8.1.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 6.7.15.8.1.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

Etapa 6.7.15.8.1.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Etapa 6.7.15.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ por $e^{- 2 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.3

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.2.5.1

Fatore $2$ de $2 e^{- 2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- 2 x}$ .

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.7

Combine $e^{- 2 x} x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.2.7.1

Reordene $e^{- 2 x}$ e $x$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.7.2

Para escrever $x e^{- 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.7.3

Combine $x e^{- 2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.2.8.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.2.8.1.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.8.1.2

Multiplique por $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.8.1.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.2.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.3

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.4.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.5.3

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.6

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ .

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Etapa 6.8.3.8

Multiplique $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ por $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$