Cálculo Exemplos

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x + y e^{\frac{y}{x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{\frac{y}{x}}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y e^{\frac{y}{x}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Etapa 1.3.7

Combine $e^{\frac{y}{x}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Combine $y$ e $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

Etapa 1.3.9

Multiplique $e^{\frac{y}{x}}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 1.4

Some $0$ e $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x e^{\frac{y}{x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x e^{\frac{y}{x}}]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{\frac{y}{x}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2 + 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- 1 \cdot y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $e^{\frac{y}{x}}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

Etapa 2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y))) - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 2.11.3

Combine os termos.

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Etapa 2.11.3.1

Combine $e^{\frac{y}{x}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} (- y)) - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 2.11.3.2

Combine $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ e $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 2.11.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 2.11.3.4

Multiplique $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 2.11.4

Reordene os fatores em $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- x e^{\frac{y}{x}}$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- x e^{\frac{y}{x}}$ por $N$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - - e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- - e^{\frac{y}{x}}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $e^{\frac{y}{x}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ de $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{0 + e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.2.4

Some $0$ e $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.2.5

Some $e^{\frac{y}{x}}$ e $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $e^{\frac{y}{x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{- x}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x + y e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x + y e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- x e^{\frac{y}{x}}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $- x e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Etapa 6.6

Reescreva $- 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ como $- \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ .

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

Etapa 8.2

Como $\frac{1}{x}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y)$

Etapa 8.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y$

Etapa 8.4

Deixe $u = \frac{y}{x}$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d y$ , então, $x d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Deixe $u = \frac{y}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Diferencie $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 8.4.1.2

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 8.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 8.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{x}} d u$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} (1 x) d u$

Etapa 8.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} x d u$

Etapa 8.6

Como $x$ é constante com relação a $u$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} (x \int e^{u} d u)$

Etapa 8.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Etapa 8.7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

Etapa 8.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = - 1 \cdot 1 \int e^{u} d u$

Etapa 8.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = - \int e^{u} d u$

Etapa 8.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = - (e^{u} + C)$

Etapa 8.9

Simplifique.

$f (x, y) = - e^{u} + C$

Etapa 8.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{x}$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}} + g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{\frac{y}{x}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Etapa 11.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y}{x}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{x}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (e^{\frac{y}{x}} (y (x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $e^{\frac{y}{x}}$ por $1$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} (y \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

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Etapa 11.5.2.1

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{x}} \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2.2

Combine $e^{\frac{y}{x}}$ e $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} - \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - (x + y e^{\frac{y}{x}})}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Subtraia $y e^{\frac{y}{x}}$ de $y e^{\frac{y}{x}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1.1.5.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + \ln (| x |) + C$