Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 2 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x e^{- 2 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x e^{- 2 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 2 x} y = \int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 6.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.5

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.5.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 6.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 6.6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 6.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 6.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 6.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 6.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.1

Reescreva $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 6.11.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 6.11.2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 6.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 6.13

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 6.14

Reordene os termos.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 7.1.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 7.1.3

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$ por $e^{- 2 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ por $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.5

Multiplique $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ por $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.6

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x} \cdot 4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 7.2.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$