Cálculo Exemplos

$(2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y) d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2} y$ em relação a $y$ é $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + 2 x \cdot 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + 2 x$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 x - 4 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} - 2 y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.4

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x^{2} + 2 x - 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 2 x - 4 y = 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x^{2} + 2 x - 4 y = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x^{2} + 2 x - 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - (2 x)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} - 2 y$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} - 2 y$ por $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - (2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 y + 0}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.2.3

Some $2 x^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.2.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 4 y$ .

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Etapa 4.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.2.4.2

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 y)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.2.4.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 2 d x}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y) d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y$ por $e^{2 x}$ .

$(2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y) e^{2 x} d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}) d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2} - 2 y$ por $e^{2 x}$ .

$(2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}) d x + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}) d x + (x^{2} e^{2 x} - 2 y e^{2 x}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} e^{2 x} - 2 y e^{2 x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{2} e^{2 x} - 2 y e^{2 x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{2} e^{2 x} d y + \int - 2 y e^{2 x} d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + C + \int - 2 y e^{2 x} d y$

Etapa 8.3

Como $- 2 e^{2 x}$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2 e^{2 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + C - 2 e^{2 x} \int y d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + C - 2 e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{- 2}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 8.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.6.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{- 1}{1} e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} e^{2 x} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$y (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{2 x} y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 11.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.4.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x^{2} (2 e^{2 x})) + y (e^{2 x} (2 x)) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.6.2

Remova os parênteses.

$y x^{2} (2 e^{2 x}) + y e^{2 x} (2 x) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 11.6.4

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $2 x^{2} y e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $2 x y e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

Etapa 12.1.3

Some $2 y^{2} e^{2 x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ .

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Etapa 12.1.4.1

Subtraia $2 x^{2} y e^{2 x}$ de $2 x^{2} y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} + 0 - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 12.1.4.2

Some $- 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 12.1.4.3

Subtraia $2 x y e^{2 x}$ de $2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 12.1.4.4

Some $- 2 y^{2} e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 12.1.4.5

Some $- 2 y^{2} e^{2 x}$ e $2 y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$