Cálculo Exemplos

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y t + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Como $2 y t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y t$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Etapa 2.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.4

Substitua $y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $2 y t + 1$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $2 y t + 1$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Etapa 12.3

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 12.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 12.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 12.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Etapa 12.5

Expanda $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

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Etapa 12.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Etapa 12.5.2

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Etapa 12.6

Multiplique $y$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.6.1

Mova $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Etapa 12.6.2

Multiplique $y^{- 2}$ por $y$ .

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Etapa 12.6.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Etapa 12.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Etapa 12.6.3

Some $- 2$ e $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Etapa 12.7

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Etapa 12.8

Como $2 t$ é constante com relação a $y$ , mova $2 t$ para fora da integral.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Etapa 12.9

A integral de $y^{- 1}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Etapa 12.10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Etapa 12.11

Simplifique.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Etapa 13

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Etapa 14

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Etapa 14.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$