Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Para escrever $y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3.4.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ por $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Depois, $d u = 3 y^{2} d y$ , então, $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = 1 + y$ e $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.2.1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.2.1.3.9

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.2.1.3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.3.12

Multiplique $1 - y + y^{2}$ por $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.8

Some $1$ e $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.9

Some $- y$ e $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.10

Some $- 1$ e $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.11

Some $y + 2 y^{2}$ e $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.12

Subtraia $y$ de $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.13

Some $2 y^{2}$ e $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Etapa 2.2.2.1.4.4.14

Some $2 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Expanda $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.1

Mova $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.7

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.7.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.7.2

Some $1$ e $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1.1.2.2.1

Combine os termos opostos em $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.1

Some $- y$ e $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.2

Some $1 + y^{2}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.3

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.4

Some $1$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{3 x + C}$ como $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{3 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$