Cálculo Exemplos

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Etapa 1

Deixe $v = y^{3}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $y^{3}$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $y^{3}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Etapa 4

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $v$ de $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Etapa 4.2

Reordene $v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Etapa 5

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 5.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 5.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 6

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 6.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Etapa 6.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Etapa 6.3.2

Some $1$ e $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Etapa 7

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Etapa 8

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Etapa 9

Integre o lado esquerdo.

$x v = \int x^{5} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Etapa 11

Divida cada termo em $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Divida cada termo em $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{6}$ e $x$ .

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Etapa 11.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3.1.1.2.5

Divida $\frac{1}{6} x^{5}$ por $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Etapa 11.3.1.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Etapa 13

Resolva $y$ .

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Etapa 13.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Etapa 13.2

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

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Etapa 13.2.1

Para escrever $\frac{x^{5}}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Etapa 13.2.2

Para escrever $\frac{C}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Etapa 13.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6 x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.2.3.1

Multiplique $\frac{x^{5}}{6}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Etapa 13.2.3.2

Multiplique $\frac{C}{x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Etapa 13.2.3.3

Reordene os fatores de $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Etapa 13.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Etapa 13.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.5.1

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.5.1.1

Multiplique $x^{5}$ por $x$ .

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Etapa 13.2.5.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Etapa 13.2.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Etapa 13.2.5.1.2

Some $5$ e $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Etapa 13.2.5.2

Mova $6$ para a esquerda de $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Etapa 13.2.6

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Etapa 13.2.7

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Etapa 13.2.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 13.2.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Etapa 13.2.8.2

Eleve $\sqrt[3]{6 x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Etapa 13.2.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Etapa 13.2.8.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Etapa 13.2.8.5

Reescreva ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ como $6 x$ .

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Etapa 13.2.8.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{6 x}$ como ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 13.2.8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 13.2.8.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 13.2.8.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.8.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 13.2.8.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Etapa 13.2.8.5.5

Simplifique.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Etapa 13.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.9.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Etapa 13.2.9.2

Aplique a regra do produto a $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Etapa 13.2.9.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Etapa 13.2.10

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Etapa 13.2.11

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Etapa 14

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$