Cálculo Exemplos

$(4 x^{3} y^{3} - 2 x y) d x + (3 x^{4} y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3} - 2 x y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $4 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x^{3} y^{3}$ em relação a $y$ é $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $y$ é $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2} - x^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} y^{2} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4} y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4} y^{2}$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - (2 x)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y^{2} x^{3} - 2 x$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $12 x^{3} y^{2} - 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$12 x^{3} y^{2} - 2 x = 12 x^{3} y^{2} - 2 x$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} - 2 x y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 4 x^{3} y^{3} - 2 x y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Etapa 5.2

Como $4 y^{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $4 y^{3}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} \int x^{3} d x + \int - 2 x y d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x y d x$

Etapa 5.4

Como $- 2 y$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y \int x d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 4 y^{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 4 \cdot \frac{1}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{4}{4} y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - 2 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.5

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.6

Combine $y$ e $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- 2 x^{2})}{2} + C$

Etapa 5.7.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.7.7.1

Fatore $2$ de $y (- 2 x^{2})$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2} + C$

Etapa 5.7.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 (1)} + C$

Etapa 5.7.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{2 (y (- x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 5.7.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + \frac{y (- x^{2})}{1} + C$

Etapa 5.7.7.2.4

Divida $y (- x^{2})$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{4}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} x^{4}$ em relação a $y$ é $x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{4} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$3 x^{4} y^{2} + \frac{d}{d y} [y (- x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y (- x^{2})]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y (- x^{2})$ em relação a $y$ é $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{4} y^{2} - x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{4} y^{2} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $3 x^{4} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $3 x^{4} y^{2} - x^{2} + x^{2} - 3 x^{4} y^{2}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} + 0 - 3 x^{4} y^{2}$

Etapa 9.1.3.2

Some $3 x^{4} y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{4} y^{2}$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $3 x^{4} y^{2}$ de $3 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{4} + y (- x^{2}) + C$

Etapa 12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = y^{3} x^{4} - y x^{2} + C$