Cálculo Exemplos

$(e^{x} + e^{- x}) \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(e^{x} + e^{- x}) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $e^{x} + e^{- x}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(e^{x} + e^{- x}) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d y}{d x}}{e^{x} + e^{- x}} = \frac{y^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x} + e^{- x}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d y}{d x}}{e^{x} + e^{- x}} = \frac{y^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = e^{x}$ . Em seguida, $d u = e^{x} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{2} + 1} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Reordene $u^{2}$ e $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\arctan (u) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \arctan (u) + C_{2}$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \arctan (e^{x}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = \arctan (e^{x}) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \arctan (e^{x}) + K$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \arctan (e^{x}) + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \arctan (e^{x}) y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = \arctan (e^{x}) y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = \arctan (e^{x}) y + K y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \arctan (e^{x}) y + K y$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $\arctan (e^{x}) y + K y$ .

$- 1 = y \arctan (e^{x}) + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $y \arctan (e^{x}) + K y = - 1$ .

$y \arctan (e^{x}) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $y \arctan (e^{x}) + K y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $y \arctan (e^{x})$ .

$y (\arctan (e^{x})) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y (\arctan (e^{x})) + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y (\arctan (e^{x})) + y K$ .

$y (\arctan (e^{x}) + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y (\arctan (e^{x}) + K) = - 1$ por $\arctan (e^{x}) + K$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y (\arctan (e^{x}) + K) = - 1$ por $\arctan (e^{x}) + K$ .

$\frac{y (\arctan (e^{x}) + K)}{\arctan (e^{x}) + K} = \frac{- 1}{\arctan (e^{x}) + K}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $\arctan (e^{x}) + K$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\arctan (e^{x}) + K)}{\arctan (e^{x}) + K} = \frac{- 1}{\arctan (e^{x}) + K}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{\arctan (e^{x}) + K}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{\arctan (e^{x}) + K}$