Cálculo Exemplos

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $3 y d x$ dos dois lados da equação.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $2 x + 1$ de $(2 x + 1) y$ .

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

Etapa 3.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $(2 x + 1) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3.4

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.4.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 4.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.3.4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.3.4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Combine $\ln (| 2 x + 1 |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Etapa 5.1.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.3

Para escrever $- \ln (| y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.4

Combine $- \ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- 2 \ln (| y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Etapa 5.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.10.1

Reescreva $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ como $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Etapa 5.10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.11

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.11.1

Simplifique $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

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Etapa 5.11.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.11.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.11.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Etapa 5.11.1.1.3

Simplifique $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

Etapa 5.11.1.1.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

Etapa 5.11.1.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

Etapa 5.11.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.11.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ .

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.11.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.11.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.11.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.11.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.11.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.11.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.11.1.5.2

Simplifique.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.11.1.6

Multiplique os expoentes em ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.11.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

Etapa 5.11.1.6.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

Etapa 5.12

Divida cada termo em $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.12.1

Divida cada termo em $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.12.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.12.2.2

Divida $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ por $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.12.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Etapa 5.12.3.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

Etapa 5.13

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

Etapa 5.14

Reescreva $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.15

Resolva $y$ .

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Etapa 5.15.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

Etapa 5.15.2

Multiplique os dois lados por ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.15.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.15.3.1

Cancele o fator comum de ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 5.15.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.15.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$