Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2} y$ em relação a $y$ é $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x + 3 y^{2}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x = 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x = 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - (2 x)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} + y^{2}$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} + y^{2}$ por $N$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - (2 x)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - 2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 0}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Some $3 x^{2} + 3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 y^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.4.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Fatore $3$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.3

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (y^{2})$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 3 d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int 3 d x}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{3 x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{3 x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ por $e^{3 x}$ .

$(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) e^{3 x} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $e^{3 x}$ .

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} + y^{2}) e^{3 x} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{2} e^{3 x} d y + \int y^{2} e^{3 x} d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + \int y^{2} e^{3 x} d y$

Etapa 8.3

Como $e^{3 x}$ é constante com relação a $y$ , mova $e^{3 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + e^{3 x} \int y^{2} d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + e^{3 x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} e^{3 x} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$y (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.3.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}]$ .

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Etapa 11.4.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.2

Combine $\frac{e^{3 x}}{3}$ e $y^{3}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.3

Como $\frac{y^{3}}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{3 x} y^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 11.4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.9

Combine $3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3}}{3} e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.10

Combine $\frac{3 y^{3}}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3} e^{3 x}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.11

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.11.1

Cancele o fator comum.

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3} e^{3 x}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.4.11.2

Divida $y^{3} e^{3 x}$ por $1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (x^{2} (3 e^{3 x})) + y (e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.6.2

Remova os parênteses.

$y x^{2} (3 e^{3 x}) + y e^{3 x} (2 x) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} x^{2} y + 2 e^{3 x} x y + e^{3 x} y^{3} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 11.6.4

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} x^{2} y + 2 e^{3 x} x y + e^{3 x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $3 x^{2} y e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $2 x y e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x}$

Etapa 12.1.3

Subtraia $y^{3} e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$ .

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Etapa 12.1.4.1

Subtraia $3 x^{2} y e^{3 x}$ de $3 x^{2} y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} + 0 - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Etapa 12.1.4.2

Some $2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Etapa 12.1.4.3

Subtraia $2 x y e^{3 x}$ de $2 x y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{3 x} + 0 - y^{3} e^{3 x}$

Etapa 12.1.4.4

Some $y^{3} e^{3 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Etapa 12.1.4.5

Subtraia $y^{3} e^{3 x}$ de $y^{3} e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x}}{3} y^{3} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{e^{3 x}}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x} y^{3}}{3} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x} y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{3 x} + \frac{y^{3} e^{3 x}}{3} + C$