Cálculo Exemplos

$(\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}) d x + (\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = 2 y$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \cdot 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 x^{2} y^{2}$ em relação a $y$ é $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} (2 y)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 6 x^{2} y$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Etapa 2.2.2

Como $\cos (2 y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\cos (2 y)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2 \sin (2 y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x \sin (2 y)$ em relação a $x$ é $- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3} y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y (3 x^{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Subtraia $2 \sin (2 y)$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \cos (2 y) d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Etapa 5.3

Como $- 3 y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3 y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = \cos (2 y) x - 3 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 3}{3} y^{2} x^{3} + C$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 5.6.2.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Etapa 5.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{2} x^{3} + C$

Etapa 5.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} + C$

Etapa 5.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 1}{1} y^{2} x^{3} + C$

Etapa 5.6.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\cos (2 y) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = 2 y$ .

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Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$x (- \sin (2 y) \cdot 2) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2} x^{3}$ em relação a $y$ é $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $2 x \sin (2 y)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y)$

Etapa 9.1.2

Some $2 x^{3} y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Some $- 2 x \sin (2 y)$ e $2 x \sin (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Etapa 9.1.3.2

Some $\cos (2 y) - 2 x^{3} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Etapa 9.1.3.3

Some $- 2 x^{3} y$ e $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $\cos (2 y)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $\cos (2 y)$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (2 y) d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \cos (2 y) d y$

Etapa 10.3

Deixe $u = 2 y$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.3.1

Deixe $u = 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 10.3.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 10.3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 10.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 10.4

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 10.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Etapa 10.6

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Etapa 10.7

Simplifique.

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Etapa 10.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \cos (2 y) - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$