Cálculo Exemplos

$\frac{d p}{d t} + 2 t p = p + 4 t - 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $2 t p$ dos dois lados da equação.

$\frac{d p}{d t} = p + 4 t - 2 - 2 t p$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Reordene os termos.

$\frac{d p}{d t} = - 2 p t + p + 4 t - 2$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d p}{d t} = (- 2 p t + p) + 4 t - 2$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d p}{d t} = p (- 2 t + 1) - 2 (- 2 t + 1)$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 t + 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (- 2 t + 1) (p - 2)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{p - 2}$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((- 2 t + 1) (p - 2))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $p - 2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $p - 2$ de $(- 2 t + 1) (p - 2)$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = - 2 t + 1$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{p - 2} d p = (- 2 t + 1) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{p - 2} d p = \int - 2 t + 1 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = p - 2$ . Depois, $d u = d p$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = p - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d p}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $p - 2$ .

$\frac{d}{d p} [p - 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $p - 2$ com relação a $p$ é $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ é $n p^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [- 2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $- 2$ em relação a $p$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 2 t + 1 d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $p - 2$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t d t + \int d t$

Etapa 2.3.2

Como $- 2$ é constante com relação a $t$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 \int t d t + \int d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - t^{2} + t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$

Etapa 3

Resolva $p$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $p$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| p - 2 |)} = e^{- t^{2} + t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- t^{2} + t + C} = | p - 2 |$

Etapa 3.3

Resolva $p$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$ .

$| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$p - 2 = \pm e^{- t^{2} + t + C}$

Etapa 3.3.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$p = \pm e^{- t^{2} + t + C} + 2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- t^{2} + t + C}$ como $e^{- t^{2} + t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{- t^{2} + t} e^{C} + 2$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- t^{2} + t}$ e $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{- t^{2} + t} + 2$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$p = C e^{- t^{2} + t} + 2$