Cálculo Exemplos

$2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 (2 x y + 4 y - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x y + 4 y - 3)]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 (2 x y + 4 y - 3)$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + 4 y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.4

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.7

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.9

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 1.10

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + 0)$

Etapa 1.11

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4)$

Etapa 1.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x) + 2 \cdot 4$

Etapa 1.12.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 \cdot 4$

Etapa 1.12.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 8$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = {(x + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]$

Etapa 2.2

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2)]$

Etapa 2.3

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2)]$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)]$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

Etapa 2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

Etapa 2.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2]$

Etapa 2.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4]$

Etapa 2.4.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.9

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + 0$

Etapa 2.11

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $4 x + 8$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 8 = 2 x + 4$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 x + 8 = 2 x + 4$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $4 x + 8$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x + 8 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x + 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua ${(x + 2)}^{2}$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua ${(x + 2)}^{2}$ por $N$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x + 8 - (2 x) - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x + 8 - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{2 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $2$ de $2 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.6.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.6.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ e ${(x + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $x + 2$ de $2 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x + 2}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x + 2} d x}$

Etapa 5.2

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 5.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x + 2 |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $2 \ln (| x + 2 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 2 |}^{2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x + 2 |}^{2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x + 2 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = {(x + 2)}^{2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$μ (x, y) = (x + 2) (x + 2) + C$

Etapa 5.6.5

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = x (x + 2) + 2 (x + 2) + C$

Etapa 5.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + C$

Etapa 5.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Etapa 5.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Etapa 5.6.6.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Etapa 5.6.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + C$

Etapa 5.6.6.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 4 x + 4 + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$ pelo fator de integração $x^{2} + 4 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $2 (2 x y + 4 y - 3)$ por $x^{2} + 4 x + 4$ .

$2 (2 x y + 4 y - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (2 x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 (x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$(4 (x y) + 8 y + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$(4 (x y) + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.4

Expanda $(4 x y + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(4 x y x^{2} + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Mova $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{2 + 1} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Mova $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 (x \cdot x) y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 x^{2} y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 \cdot 4 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.6

Multiplique $8$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.7

Multiplique $4$ por $8$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.8

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.5.9

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.6

Some $16 x^{2} y$ e $8 y x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Mova $y$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 8 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Some $16 x^{2} y$ e $8 x^{2} y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.7

Some $16 x y$ e $32 y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Mova $y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.7.2

Some $16 x y$ e $32 x y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Etapa 6.8

Multiplique ${(x + 2)}^{2}$ por $x^{2} + 4 x + 4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.9

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x + 2) (x + 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.10

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.11.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.11.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.11.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.11.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Etapa 6.12

Expanda $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.13.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.1.2

Some $2$ e $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.13.3.1

Mova $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.13.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.3.3

Some $1$ e $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.4

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.13.5.1

Mova $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.13.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.5.3

Some $2$ e $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.13.7.1

Mova $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.13.11

Multiplique $4$ por $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Etapa 6.14

Some $4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Etapa 6.15

Some $4 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Etapa 6.16

Some $20 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 16 x + 16 x + 16) d y = 0$

Etapa 6.17

Some $16 x$ e $16 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$y (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.6

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.8

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.10

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.11

Multiplique $3$ por $8$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.12

Multiplique $2$ por $24$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.13

Multiplique $32$ por $1$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.3.14

Some $4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32$ e $0$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (4 x^{3}) + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

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Etapa 11.5.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$4 \cdot y x^{3} + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.5.2.2

Mova $24$ para a esquerda de $y$ .

$4 y x^{3} + 24 \cdot y x^{2} + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.5.2.3

Mova $48$ para a esquerda de $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 \cdot y x + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.5.2.4

Mova $32$ para a esquerda de $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 y x + 32 y + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $4 x^{3} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $24 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y$

Etapa 12.1.3

Subtraia $48 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y$

Etapa 12.1.4

Subtraia $32 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Etapa 12.1.5

Combine os termos opostos em $4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$ .

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Etapa 12.1.5.1

Subtraia $4 x^{3} y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Etapa 12.1.5.2

Some $24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Etapa 12.1.5.3

Subtraia $24 x^{2} y$ de $24 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 48 x y - 32 y$

Etapa 12.1.5.4

Some $48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 48 x y - 32 y$

Etapa 12.1.5.5

Subtraia $48 x y$ de $48 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 32 y$

Etapa 12.1.5.6

Some $32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 32 y$

Etapa 12.1.5.7

Subtraia $32 y$ de $32 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0$

Etapa 12.1.5.8

Some $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int - 6 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Etapa 13.4

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$g (x) = - 6 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Etapa 13.6

Como $- 24$ é constante com relação a $x$ , mova $- 24$ para fora da integral.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 \int x d x + \int - 24 d x$

Etapa 13.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

Etapa 13.8

Aplique a regra da constante.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Etapa 13.9

Simplifique.

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Etapa 13.9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Etapa 13.9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

Etapa 13.10

Simplifique.

$g (x) = - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

Etapa 15

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x^{4} y + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y + 32 x y + 16 y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$