Cálculo Exemplos

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ por $x y^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ por $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{3}$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.1

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

Etapa 6.1.1.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

Etapa 6.1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Some $- \frac{1}{V^{2}}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Etapa 6.1.4.2

Combine.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Fatore $V^{2}$ de $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Etapa 6.1.4.3.2

Fatore $V^{2}$ de $x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Etapa 6.1.4.3.3

Cancele o fator comum.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Etapa 6.1.4.3.4

Reescreva a expressão.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

Etapa 6.1.4.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{2}$ com relação a $V$ é $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Etapa 6.3.3

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Etapa 6.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$