Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $8 y$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

Etapa 1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Etapa 1.3

Subtraia $8 y$ de $9 y$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Etapa 2

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 2.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 2.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Etapa 6.2

Aplique a regra da constante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Etapa 6.3

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

Etapa 6.5

Aplique a regra da constante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

Etapa 6.6

Simplifique.

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Etapa 6.6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

Etapa 6.6.2

Simplifique.

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.3.2

Divida $- 6$ por $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$