Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} - x = t + 1$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = - 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} + e^{- t} (- x) = e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{- t} \frac{d x}{d t} - e^{- t} x = e^{- t} t + e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d x}{d t} - x e^{- t} = t e^{- t} + e^{- t}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} x] = t e^{- t} + e^{- t}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} x] d t = \int t e^{- t} + e^{- t} d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- t} x = \int t e^{- t} + e^{- t} d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{- t} x = \int t e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.4.2

Multiplique $\int e^{- t} d t$ por $1$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.5

Deixe $u_{1} = - t$ . Depois, $d u_{1} = - d t$ , então, $- d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.5.1

Deixe $u_{1} = - t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 6.5.1.1

Diferencie $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 6.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- t} d t$

Etapa 6.8

Deixe $u_{2} = - t$ . Depois, $d u_{2} = - d t$ , então, $- d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.8.1

Deixe $u_{2} = - t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 6.8.1.1

Diferencie $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 6.8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.10

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{- t} x = t (- e^{- t}) - (e^{u_{1}} + C) - (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 6.11

Simplifique.

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Etapa 6.11.1

Simplifique.

$e^{- t} x = - t e^{- t} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C$

Etapa 6.11.2

Subtraia $e^{u_{2}}$ de $- e^{u_{1}}$ .

$e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{u_{1}} + C$

Etapa 6.12

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- t$ .

$e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$ por $e^{- t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- t} x = - t e^{- t} - 2 e^{- t} + C$ por $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} x}{e^{- t}} = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- t} x}{e^{- t}} = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- t e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $- t$ por $1$ .

$x = - t + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = - t + \frac{- 2 e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$x = - t - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$