Cálculo Exemplos

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(1 - \ln (x)) d y$ dos dois lados da equação.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 2.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 2.2.3

Como $\ln (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\ln (x)$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 2.4.2

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 - \ln (x))$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Etapa 3.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Etapa 3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 3.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6

Multiplique.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Etapa 6

Integre $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Etapa 6.2

Reescreva $- (1 - \ln (x)) y + C$ como $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(- 1 + \ln (x)) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.3.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.3.5

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.3.6

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 9.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1.1.1

Subtraia $\ln (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Etapa 10.1.1.2

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Etapa 10.1.1.3

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

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Etapa 10.1.1.3.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Etapa 10.1.1.3.2

Some $\frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Etapa 10.1.2

Some $\ln (x)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $1 + \ln (x)$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Etapa 11.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Etapa 11.4

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Etapa 11.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 11.6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 11.6.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 11.6.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Etapa 11.7

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Etapa 11.8

Simplifique.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Etapa 11.9

Simplifique.

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Etapa 11.9.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Etapa 11.9.2

Some $\ln (x) x$ e $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Etapa 12

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Etapa 13

Simplifique $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Etapa 13.1.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Etapa 13.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$