Cálculo Exemplos

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.2.2

Como $2 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 1.5

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

Etapa 1.6

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1

Subtraia $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

Etapa 1.6.2

Some $- 2 x y - 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} y + 2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

Etapa 2.10.2

Combine os termos.

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Etapa 2.10.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

Etapa 2.10.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 x y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x y - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

Etapa 5.3

Como $x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.2.1.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.5

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.7

Combine $2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.8

Combine $\frac{2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.9.1

Cancele o fator comum.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.9.2

Divida $y^{2} x$ por $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 8.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $y^{2} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

Etapa 9.1.2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $- x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Etapa 9.1.3.2

Some $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Etapa 9.1.3.3

Some $2 x^{3} - 2 y + 3$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

Etapa 9.1.3.4

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Etapa 9.1.3.5

Some $2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x^{3} + 3$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Etapa 10.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Etapa 10.9

Reordene os termos.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$