Cálculo Exemplos

$d x - e^{x} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $d x$ dos dois lados da equação.

$- e^{x} d y = - d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e^{x}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{e^{x}}$ e $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{e^{x}} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 1 d y = - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$- y + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- y + C_{1} = - \int e^{- x} d x$

Etapa 4.3.3

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.3.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.3.3.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- y + C_{1} = \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- y + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- y + C_{1} = e^{- x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- y = e^{- x} + K$

Etapa 5

Divida cada termo em $- y = e^{- x} + K$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- y = e^{- x} + K$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{e^{- x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$y = - e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$y = - e^{- x} - 1 \cdot K$

Etapa 5.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$y = - e^{- x} - K$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = - e^{- x} + K$