Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 3 y$

Etapa 1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 x e^{3 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 x e^{3 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 x e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int 6 x e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 6 \int x e^{3 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Etapa 7.5

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Etapa 7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Etapa 7.10

Reescreva $6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Etapa 7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Etapa 7.12

Simplifique.

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Etapa 7.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.12.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Etapa 7.12.1.2

Combine $\frac{x}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Etapa 7.12.1.3

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 6 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{3 x} y = 6 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 7.12.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.12.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$e^{3 x} y = 3 (2) \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 7.12.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 7.12.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 7.12.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{3 x}}{9}$ para o numerador.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 6 \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Etapa 7.12.4.2

Fatore $3$ de $6$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{3 x}}{9} + C$

Etapa 7.12.4.3

Fatore $3$ de $9$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Etapa 7.12.4.4

Cancele o fator comum.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{3 x}}{3 \cdot 3} + C$

Etapa 7.12.4.5

Reescreva a expressão.

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + 2 \frac{- e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.5

Combine $2$ e $\frac{- e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{2 (- e^{3 x})}{3} + C$

Etapa 7.12.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{3 x} y = 2 (x e^{3 x}) + \frac{- 2 e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.8

Para escrever $2 x e^{3 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.9

Combine $2 x e^{3 x}$ e $\frac{3}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{3 x} y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.12.11.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

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Etapa 7.12.11.1.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C$

Etapa 7.12.11.1.2

Fatore $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C$

Etapa 7.12.11.1.3

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C$

Etapa 7.12.11.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C$

$e^{3 x} y = \frac{2}{3} e^{3 x} (3 x - 1) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = \frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x - 1)) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (e^{3 x} (3 x) + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot - 1) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - 1 \cdot e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.4

Reescreva $- 1 e^{3 x}$ como $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} \cdot (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.2.6.1

Fatore $3$ de $3 e^{3 x} x$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{2}{3} (3 (e^{3 x} x)) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) + \frac{2}{3} (- e^{3 x}) + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.7

Combine $\frac{2}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} x) - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.8

Combine $2 e^{3 x} x$ e $- \frac{2 e^{3 x}}{3}$ usando um denominador comum.

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Etapa 8.3.2.8.1

Mova $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.8.2

Para escrever $2 x e^{3 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x e^{3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.8.3

Combine $2 x e^{3 x}$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.2.9.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 - 2 e^{3 x}$ .

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Etapa 8.3.2.9.1.1

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) - 2 e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.9.1.2

Fatore $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.9.1.3

Fatore $2 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x} (x \cdot 3) + 2 e^{3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (x \cdot 3 - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.2.9.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.3

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.4.1

Combine $C$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x - 1) + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{2 e^{3 x} (3 x) + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x + 2 e^{3 x} \cdot - 1 + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot 3 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.5.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + C \cdot 3}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.5.5

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.6

Reordene os fatores em $\frac{6 e^{3 x} x - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ .

$y = \frac{\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Etapa 8.3.8

Multiplique $\frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3}$ por $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 3 C}{3 e^{3 x}}$