Cálculo Exemplos

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $6 x y d x$ dos dois lados da equação.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3.2

Fatore $y$ de $4 y + 9 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $y$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot 4 + y (9 y)$ .

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3.3.2

Divida $4 + 9 y$ por $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

Etapa 3.5

Combine $- 6$ e $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da constante.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2.3

Como $9$ é constante com relação a $y$ , mova $9$ para fora da integral.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Simplifique.

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2.5.2

Combine $9$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Etapa 4.2.6

Reordene os termos.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 4.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{9}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Etapa 5.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $3 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

Etapa 5.2.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

Etapa 5.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Etapa 5.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

Etapa 5.3.3

Mova $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Etapa 5.3.4

Reordene $9 y^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Etapa 5.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5

Substitua os valores $a = 9$ , $b = 8$ e $c = 6 x^{2} - 2 K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.4

Multiplique $6$ por $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.6

Fatore $8$ de $64 - 216 x^{2} + 72 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.6.1

Fatore $8$ de $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.6.2

Fatore $8$ de $- 216 x^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.6.3

Fatore $8$ de $72 K$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.6.4

Fatore $8$ de $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.6.5

Fatore $8$ de $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.7

Reescreva $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ como $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.7.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.7.4

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$