Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $\csc (y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $\csc (y)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{\csc (y)}$ para o numerador.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $\csc (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \cos (y) = - t + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \cos (y) = - t + K$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \cos (y) = - t + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\cos (y) = t - K$

Etapa 3.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$y = \arccos (t - K)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \arccos (t + K)$