Cálculo Exemplos

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $2 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Etapa 1.1.3

Fatore $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $2 x \frac{d y}{d x}$ de $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ por $2 x (x y + 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ por $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.2.3

Cancele o fator comum de $x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Etapa 1.1.4.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Etapa 1.1.4.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.2

Para escrever $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x y + 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.5

Fatore $y$ de $- y^{2} x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.5.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.5.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.5.3

Fatore $y$ de $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6

Cancele o fator comum de $- y x - 1$ e $x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6.4

Reescreva $- (y x + 1)$ como $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6.5

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6.6

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Etapa 1.1.4.3.6.7

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 1.1.4.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.4.3.7.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Etapa 1.1.4.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Etapa 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| y x |) = C$

Etapa 3.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (| y x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Etapa 3.6.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $y x = \pm e^{C}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $y x = \pm e^{C}$ por $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{x}$