Cálculo Exemplos

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ dos dois lados da equação.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $\sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} \sin (x)$ em relação a $y$ é $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Etapa 2.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Subtraia $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Etapa 3.2.3

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y^{2}$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Etapa 3.2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Etapa 3.2.6

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Etapa 6

Integre $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Etapa 6.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Etapa 6.3

Como $3 x$ é constante com relação a $y$ , mova $3 x$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Etapa 6.5

Como $2 \cos (x)$ é constante com relação a $y$ , mova $2 \cos (x)$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Etapa 6.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Etapa 6.7

Simplifique.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3.3

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{3}$ em relação a $x$ é $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3.5

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\cos (x) y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3.6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.3.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.5

Simplifique.

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Etapa 9.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.5.2

Combine os termos.

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Etapa 9.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.5.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 9.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.1

Some $y^{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Etapa 10.1.2

Subtraia $y^{2} \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Etapa 10.1.3

Combine os termos opostos em $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

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Etapa 10.1.3.1

Some $- y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Etapa 10.1.3.2

Some $x + y^{2} \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Etapa 10.1.3.3

Subtraia $y^{2} \sin (x)$ de $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 10.1.3.4

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 11.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 13

Simplifique $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 13.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 13.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$