Cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.7

Combine $\frac{x^{2}}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

Etapa 1.8

Combine $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 3 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

Etapa 3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

Etapa 3.3.3

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

Etapa 3.4

Simplifique $e^{0} (1 x^{2})$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

Etapa 3.5

Reordene os fatores em $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ por $e^{- 3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ por $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 3 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 8.3.1.3

Combine.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$