Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

Etapa 1.2

Como $\frac{21}{10}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{21}{10}$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.3

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.3.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ como $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Multiplique $\frac{21}{10}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{21}{20}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{21}{20}$ para fora da integral.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$