Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{5}$ .

$v = y^{- 4}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{4}}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{4}}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{4}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.7

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11

Combine $\frac{1}{4}$ e $v^{- \frac{3}{4}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12

Mova $v^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} v'}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14

Combine $\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.16

Multiplique $\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}} v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.17

Multiplique $v^{\frac{3}{4}}$ por $v^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.1

Mova $v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 (v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{4}})}$

Etapa 4.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}$

Etapa 4.17.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}$

Etapa 4.17.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}$

Etapa 4.17.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}}$

Etapa 4.17.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2 + 3}{4}}}$

Etapa 4.17.6

Some $2$ e $3$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{4}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$ .

$- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ por $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ por $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $4 v^{\frac{5}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $4 v^{\frac{5}{4}}$ de $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{4}}$ por $v^{\frac{5}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{1}{4}}) (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5 - 1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{4}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.5

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.5

Simplifique $- v^{1} (- 1 \cdot (4))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 4 = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.2.1.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 1 \cdot 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{1}{4} \cdot 5} v^{\frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.3.2

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.3.2.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- 5 (\frac{1}{4})} v^{\frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.3.2.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{- 5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.4

Multiplique $v^{- \frac{5}{4}}$ por $v^{\frac{5}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.4.1

Mova $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{5}{4}})$

Etapa 6.1.3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5}{4} - \frac{5}{4}}$

Etapa 6.1.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5 - 5}{4}}$

Etapa 6.1.3.4.4

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{0}{4}}$

Etapa 6.1.3.4.5

Divida $0$ por $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{0}$

Etapa 6.1.3.5

Simplifique $- 4 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int 4 d x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{4 x + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 x}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + e^{4 x} (4 v) = e^{4 x} (- 4 x)$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = e^{4 x} (- 4 x)$

Etapa 6.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 v e^{4 x} = - 4 x e^{4 x}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} v] = - 4 x e^{4 x}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} v] d x = \int - 4 x e^{4 x} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{4 x} v = \int - 4 x e^{4 x} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$e^{4 x} v = - 4 \int x e^{4 x} d x$

Etapa 6.7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Etapa 6.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Etapa 6.7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Etapa 6.7.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Etapa 6.7.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Etapa 6.7.5

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 6.7.5.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 6.7.5.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 6.7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Etapa 6.7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 6.7.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.8.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Etapa 6.7.10

Reescreva $- 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $- 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 6.7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Etapa 6.7.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Etapa 6.7.12.1.2

Combine $\frac{x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Etapa 6.7.12.1.3

Combine $e^{4 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{4 x} v = - 4 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.7.12.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$e^{4 x} v = 4 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.7.12.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} v = 4 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.7.12.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.7.12.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{4 x}}{16}$ para o numerador.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Etapa 6.7.12.4.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Etapa 6.7.12.4.3

Fatore $4$ de $16$ .

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

Etapa 6.7.12.4.4

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

Etapa 6.7.12.4.5

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - \frac{- e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} - - \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.5.2

Multiplique $- - \frac{e^{4 x}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.5.2.2

Multiplique $\frac{e^{4 x}}{4}$ por $1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.6

Para escrever $- x e^{4 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.7

Combine $- x e^{4 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.9.1

Fatore $e^{4 x}$ de $- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.9.1.1

Fatore $e^{4 x}$ de $- x e^{4 x} \cdot 4$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 6.7.12.9.1.2

Multiplique por $1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C$

Etapa 6.7.12.9.1.3

Fatore $e^{4 x}$ de $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C$

Etapa 6.7.12.9.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C$

Etapa 6.7.12.10

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) + 1)}{4} + C$

Etapa 6.7.12.11

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) - 1 (- 1))}{4} + C$

Etapa 6.7.12.12

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x - 1))}{4} + C$

Etapa 6.7.12.13

Reescreva $- (4 x - 1)$ como $- 1 (4 x - 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 1 (4 x - 1))}{4} + C$

Etapa 6.7.12.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 6.7.13

Remova os parênteses.

$e^{4 x} v = - \frac{1}{4} e^{4 x} (4 x - 1) + C$

Etapa 6.8

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Combine $e^{4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$

Etapa 6.8.2

Divida cada termo em $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ por $e^{4 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Divida cada termo em $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{4 x}}{4}$ para o numerador.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.2.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 (x)) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$v = \frac{- e^{4 x} x - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.3

Multiplique $- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.3.2

Multiplique $\frac{e^{4 x}}{4}$ por $1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.4

Combine $- e^{4 x} x$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.2.4.1

Mova $e^{4 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.4.2

Para escrever $- 1 x e^{4 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.4.3

Combine $- 1 x e^{4 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.2.5.1

Fatore $e^{4 x}$ de $- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.2.5.1.1

Fatore $e^{4 x}$ de $- 1 x e^{4 x} \cdot 4$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.5.1.2

Multiplique por $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.5.1.3

Fatore $e^{4 x}$ de $e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.5.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.2.5.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.3

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.4.1

Combine $C$ e $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x) + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.5.3

Multiplique $e^{4 x}$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.5.4

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- 4 e^{4 x} x$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.2

Fatore $- 1$ de $e^{4 x}$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x})$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.4

Fatore $- 1$ de $4 C$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.5

Fatore $- 1$ de $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.6.6.1

Reescreva $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ como $- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ .

$v = \frac{\frac{- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$v = \frac{- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.6.6.3

Reordene os fatores em $- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = \frac{- \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Etapa 6.8.2.3.8

Multiplique $\frac{1}{e^{4 x}}$ por $\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{e^{4 x} \cdot 4}$

Etapa 6.8.2.3.9

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 4}$ por $v$ .

$y^{- 4} = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$