Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x y + y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

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Etapa 1.1

Divida $\frac{x^{2} + x y + y^{2}}{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{x^{2} + x y + y^{2}}{x^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x y$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (y)}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x + y)}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x + y)}{x \cdot x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x + y)}{x \cdot x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Divida a fração $\frac{x + y}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + V + V^{2}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 1 + V + V^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V + V^{2} - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $1 + V + V^{2} - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $1 + V^{2}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $1 + V^{2}$ .

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Etapa 6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ com relação a $V$ é $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro do arco tangente.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$