Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Etapa 1.4

Reescreva $- x^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.6

Reordene os termos.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$