Cálculo Exemplos

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Etapa 2.2.1.3

Some $z$ e $2 z$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Etapa 2.2.1.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ .

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Etapa 2.2.1.6

Multiplique $\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ por $1$ .

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Etapa 2.2.2

Divida $2 z - 1$ por $3 z + 3$ .

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Etapa 2.2.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

Etapa 2.2.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 z$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 z$ .

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

Etapa 2.2.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 z + 2$ .

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

Etapa 2.2.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

Etapa 2.2.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $3$ e $3 z + 3$ .

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Etapa 2.2.4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3 z$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

Etapa 2.2.4.2.3

Fatore $3$ de $3 (z) + 3 (1)$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Etapa 2.2.4.2.4

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Etapa 2.2.4.2.5

Reescreva a expressão.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $z$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Etapa 2.2.7

Deixe $u = z + 1$ . Depois, $d u = d z$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.7.1

Deixe $u = z + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d z}$ .

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Etapa 2.2.7.1.1

Diferencie $z + 1$ .

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

Etapa 2.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z + 1$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

Etapa 2.2.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

Etapa 2.2.7.1.4

Como $1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $1$ em relação a $z$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $z + 1$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$