Cálculo Exemplos

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.3.4

Multiplique $\arctan (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.4

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$