Cálculo Exemplos

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x^{2} d x$ dos dois lados da equação.

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x - 1$ de $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

Etapa 3.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x - 1}$ .

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Etapa 4.3.2

Divida $x^{2}$ por $x - 1$ .

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Etapa 4.3.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 4.3.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 4.3.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.3.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Etapa 4.3.2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Etapa 4.3.2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Etapa 4.3.2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Etapa 4.3.2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Etapa 4.3.2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 4.3.2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Etapa 4.3.7

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.7.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.7.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.3.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3.7.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.11

Simplifique.

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Etapa 4.3.11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.11.2

Para escrever $\ln (| x - 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

Etapa 4.3.11.3

Combine $\ln (| x - 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Etapa 4.3.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Etapa 4.3.11.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x - 1 |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

Etapa 4.3.11.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

Etapa 4.3.12

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Etapa 4.3.13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.3.2

Fatore $2$ de $2 \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.3.3

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.3.4

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 \ln (| x - 1 |)$ como $- \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.5

Para escrever $- \ln (| x - 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.6

Combine $- \ln (| x - 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

Etapa 5.3

Simplifique $- 2 \ln (| x - 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ .

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Etapa 5.5.1

Remova o valor absoluto em ${| x - 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Etapa 5.5.2

Reescreva $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.5.2.1

Reagrupe os termos.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

Etapa 5.5.2.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - 2 x + 2 C$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Mova $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

Etapa 5.5.2.2.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

Etapa 5.5.2.2.3

Fatore $- 1$ de $2 C$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

Etapa 5.5.2.2.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

Etapa 5.5.2.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 C)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

Etapa 5.5.2.2.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

Etapa 5.5.2.3

Fatore $- 1$ de $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Reordene $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ e $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Etapa 5.5.2.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Etapa 5.5.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$