Cálculo Exemplos

$3 y - x \frac{d y}{d x} = 6$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ por $- x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ por $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{3 y}{x}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 + 3 y}{x}$

Etapa 1.2.2

Fatore $3$ de $- 6 + 3 y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot - 2 + 3 y}{x}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $3$ de $3 \cdot - 2 + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot (- 2 + y)}{x}$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 2 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- 2 + y}$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $- 2 + y$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $- 2 + y$ de $3 (- 2 + y)$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- 2 + y} d y = \frac{3}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- 2 + y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = - 2 + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - 2 + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $- 2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 + y$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| - 2 + y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| - 2 + y |) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{3}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| - 2 + y | = e^{C} {| x |}^{3}$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} {| x |}^{3}$ .

$| - 2 + y | = {| x |}^{3} e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- 2 + y = \pm {| x |}^{3} e^{C}$

Etapa 3.5.4.3

Reordene os fatores em $\pm {| x |}^{3} e^{C}$ .

$- 2 + y = \pm e^{C} {| x |}^{3}$

Etapa 3.5.4.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{3} + 2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm C {| x |}^{3} + 2$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C {| x |}^{3} + 2$