Cálculo Exemplos

$2 y d x = 3 x d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$3 x d y = 2 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (2 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (2 y) d x$

Etapa 3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (2 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (2 y) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (2 y) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (2 y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3}{y} d y = 2 \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.5

Combine $2$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{2}{x y} y d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{2}{y x} y d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{y} d y = \frac{2}{y x} y d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{y} d y = \frac{2}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$3 \ln (| y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$3 \ln (| y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $3 \ln (| y |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $3 \ln (| y |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) - 2 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.1.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{2}}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Etapa 5.5.3

Simplifique.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{2}$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{C} x^{2}$ .

${| y |}^{3} = x^{2} e^{C}$

Etapa 5.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| y | = \sqrt[3]{x^{2} e^{C}}$

Etapa 5.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \sqrt[3]{x^{2} e^{C}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt[3]{x^{2} C}$