Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Etapa 2.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Reordene $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Etapa 6.3

Reordene $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Etapa 6.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Etapa 6.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 6.6

Simplifique multiplicando.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 6.6.2

Multiplique $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Etapa 6.7

Ao resolver $\int e^{x} \sin (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Etapa 6.8

Reescreva $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

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Etapa 7.1.2.1

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Etapa 7.1.2.2

Combine $\frac{\sin (x)}{2}$ e $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

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Etapa 7.1.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Etapa 7.1.3.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Etapa 7.1.4

Reordene os fatores em $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Combine.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.6

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.3.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ para o numerador.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.6.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.6.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.6.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$