Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$ , $t = 1$ , $h = 0.1$

Etapa 1

Defina $f (t, y)$ de forma que $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Etapa 2

Encontre $f (0, 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $0$ por $t$ e $0$ por $y$ .

$f (0, 0) = e^{0}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

Etapa 2.2.2

Eleve $2.71828182$ à potência de $0$ .

$f (0, 0) = 1$

Etapa 3

Use a fórmula recursiva $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ para encontrar $y_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua.

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $0.1$ por $1$ .

$y_{1} = 0 + 0.1$

Etapa 3.2.2

Some $0$ e $0.1$ .

$y_{1} = 0.1$

Etapa 4

Use a fórmula recursiva $t_{1} = t_{0} + h$ para encontrar $t_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua.

$t_{1} = 0 + 0.1$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0.1$ .

$t_{1} = 0.1$

Etapa 5

Encontre $f (0.1, 0.1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $0.1$ por $t$ e $0.1$ por $y$ .

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

Etapa 5.2.2

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.1$ .

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

Etapa 6

Use a fórmula recursiva $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ para encontrar $y_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua.

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $0.1$ por $1.10517091$ .

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

Etapa 6.2.2

Some $0.1$ e $0.11051709$ .

$y_{2} = 0.21051709$

Etapa 7

Use a fórmula recursiva $t_{2} = t_{1} + h$ para encontrar $t_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua.

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

Etapa 7.2

Some $0.1$ e $0.1$ .

$t_{2} = 0.2$

Etapa 8

Continue da mesma maneira até que os valores desejados sejam aproximados.

Etapa 9

Liste as aproximações em uma tabela.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$