Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Etapa 6.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Etapa 6.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

Etapa 6.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Etapa 6.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

Etapa 6.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

Etapa 6.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

Etapa 6.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

Etapa 9

Simplifique.

$2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$