Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 60 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 60$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{4} - 60 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 60 u = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $15 u$ de $15 u^{2} - 60 u$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $15 u$ de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 60 u = 0$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $15 u$ de $- 60 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $15 u$ de $15 u (u) + 15 u (- 4)$ .

$15 u (u - 4) = 0$

Etapa 5.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x^{2} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x^{2} - 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $x^{2} - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 5.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5.5.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 5.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 5.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 5.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2, - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 2, - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

Etapa 9.1.2

Multiplique $60$ por $0$ .

$0 - 120 \cdot 0$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 120$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $15 x^{4} - 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $15$ por $256$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 60$ por $16$ .

$f' (- 4) = 3840 - 960$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $960$ de $3840$ .

$f' (- 4) = 2880$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $2880$ .

$2880$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 1$ , do intervalo $(- 2, 0)$ na primeira derivada $15 x^{4} - 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60$

Etapa 10.3.2.2

Subtraia $60$ de $15$ .

$f' (- 1) = - 45$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 45$ .

$- 45$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, 2)$ na primeira derivada $15 x^{4} - 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$f' (1) = 15 - 60$

Etapa 10.4.2.2

Subtraia $60$ de $15$ .

$f' (1) = - 45$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 45$ .

$- 45$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $15 x^{4} - 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $15$ por $256$ .

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $- 60$ por $16$ .

$f' (4) = 3840 - 960$

Etapa 10.5.2.2

Subtraia $960$ de $3840$ .

$f' (4) = 2880$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $2880$ .

$2880$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 2$ , então $x = - 2$ é um máximo local.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um mínimo local.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ .

$x = - 2$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

$x = - 2$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 11