Cálculo Exemplos

$x^{5} + y^{5} = 30 x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{5}) = \frac{d}{d x} (30 x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + y^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x y$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$30 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$30 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$30 (x y' + y)$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$30 x y' + 30 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' = 30 x y' + 30 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $30 x y'$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y$

Etapa 5.2

Subtraia $5 x^{4}$ dos dois lados da equação.

$5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Etapa 5.3

Fatore $5 y'$ de $5 y^{4} y' - 30 x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $5 y'$ de $5 y^{4} y'$ .

$5 y' y^{4} - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Etapa 5.3.2

Fatore $5 y'$ de $- 30 x y'$ .

$5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Etapa 5.3.3

Fatore $5 y'$ de $5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x)$ .

$5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ por $5 (y^{4} - 6 x)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ por $5 (y^{4} - 6 x)$ .

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y^{4} - 6 x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $30$ e $5$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $5$ de $30 y$ .

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} - \frac{x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$