Cálculo Exemplos

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \ln (x^{2} y^{2})$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ e $7$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Etapa 2.9

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1

Combine $2$ e $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.4

Combine $y$ e $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.5

Combine $\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ e $y'$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.6

Mova $14$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.7

Mova $14$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.8

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.8.1

Fatore $y$ de $14 y x^{2} y'$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.8.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.9

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.10

Combine $2$ e $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.11

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Etapa 2.10.2.12

Combine $y^{2}$ e $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

Etapa 2.10.2.13

Combine $\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ e $x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.10.2.14

Mova $14$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.10.2.15

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.10.2.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

Etapa 2.10.2.16

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.16.1

Fatore $x$ de $14 x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

Etapa 2.10.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.16.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Etapa 2.10.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Etapa 2.10.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

Etapa 3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $\frac{14}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique $- \frac{14}{x} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Combine $y$ e $\frac{14}{x}$ .

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Mova $14$ para a esquerda de $y$ .

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ por $14$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ por $14$ .

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Etapa 5.4.3.2

Cancele o fator comum de $14$ .

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Etapa 5.4.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{14 y}{x}$ para o numerador.

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Etapa 5.4.3.2.2

Fatore $14$ de $- 14 y$ .

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Etapa 5.4.3.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Etapa 5.4.3.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x}$

Etapa 5.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$