Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3 x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

Etapa 1.2

Integre $3 x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{3} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{3}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{3}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Depois, $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Etapa 6.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 6.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 6.1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 6.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Etapa 6.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 6.1.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 6.1.1.4.2

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 6.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ por $e^{x^{3}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ por $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{3}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{3}}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$