Cálculo Exemplos

$y = \arctan (3 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (3 x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{1 + {(3 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $3 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 3^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

Combine $3$ e $\frac{1}{1 + 9 x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \cdot 1$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{3}{9 x^{2} + 1}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$